Question

如图，平面直角坐标系中，抛物线：y=

1

2

x²-2x+3与y轴交于点A，P为拋物线上一点，且与点A不重合．连接AP，以AO、AP为邻边作平行四边形OAPQ，PQ所在直线与x轴交于点B．设点P的横坐标为m．
（1）求点Q落在x轴上时m的值．
（2）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线段QB的长取最大值，并求出这个最大值．
【参考公式：二次函数兴y=ax²+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)】

Answer 1

分析：（1）可以令x=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在x轴上时，PQ=OA=3，即可得出y=3时m的值；
（2）根据当PB取最小值时，QB最大，当x=2时，二次函数y=

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2

x²-2x+3有最小值即可得出答案．

解答：解：（1）令x=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在x轴上时，PQ=OA=3，
在y=

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2

x²-2x+3中，令y=3，可求得点P横坐标m=4，
即点Q落在x轴上时m的值为4；

（2）∵QB=OA-PB=3-PB，
∴当PB取最小值时，QB最大，
二次函数y=

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2

x²-2x+3=

1

2

（x²-4x+4-4）+3=

1

2

（x-2）²+1，
当x=2时，有最小值y=1，
故m=2时，QB的最大值为2．

点评：此题主要考查了二次函数的最值问题以及点的坐标性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点，同学们应重点掌握．