Question

在四边形ABCD中，∠ADC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=5

3

，CD=3

3

，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥AE于F，求得四边形DCEF为矩形，根据直角三角函数求得AE、BE，根据△ADF∽△BAE，求得DF，进而求得三角形ABE和梯形ADCE的面积，这两个面积的和就是四边形ABCD的面积．

解答：解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥AE于F，
∵∠ADC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠B=60°
∵AB=5

3

，
∴AE=AB×sinB=AB×sin60°=7.5，BE=AB×cosB=AB×cos60°=

5 3

2

，
∴S_△ABE=

1

2

×AE×BE=

75 3

8

，
∵AE⊥BC，DF⊥AE，BC⊥CD，
∴四边形DCEF为矩形，
∴EF=CD=3

3

，
∴AF=AE-EF=7.5-3

3

=

15-6 3

2

，
∵∠BAE+∠DAF=90°，∠B+∠BAE=90°，
∴∠B=∠DAF，
∵∠AFD=∠AEB=90°，
∴△ADF∽△BAE，
∴

DF

AE

=

AF

BE

，
即

DF

15 2

=

15-6 3 2

5 3 2

，
解得：DF=

15 3 -16

2

∴S_梯形ADCE=

1

2

（DC+AE）×DF=

1

2

（3

3

+

15

2

）×

15 3 -16

2

=

30+129 3

8

，
∴S=S_△ABE+S_梯形ADCE=

75 3

8

+

30+129 3

8

=

30+204 3

8

；
∴四边形ABCD的面积为

30+204 3

8

．

点评：本题考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质以及三角形的面积、梯形的面积等，过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥AE于F，构建直角三角形和梯形时本题的关键；