Question

9．在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线y=a（x-m）²+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，则称三角形ABO为抛物线的伴随三角形，直线AB为抛物线的伴随直线．
（1）如图1，求抛物线y=（x-2）²+1的伴随直线的解析式；
（2）如图2，若抛物线y=a（x-m）²+n（m＞0）的伴随直线是y=x-3，且伴随三角形ABO的面积为3，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到抛物线y=（x-2）²+1与y轴的交点坐标为A（0，5），顶点坐标为B（2，1），列方程组即可得到结论；
（2）根据一次函数的新技术得到伴随直线y=x-3与y轴的交点A（0，-3），得到OA=3，过B作BC⊥y轴于C，根据三角形的面积得到BC=2，得到B（2，-1），把A（0，-3），B（2，-1）代入y=a（x-m）²+n得-3=a（0-2）²-1，即可得到结论．

解答 解：（1）在y=（x-2）²+1，
当x=0时，y=5，
∴抛物线y=（x-2）²+1与y轴的交点坐标为A（0，5），
顶点坐标为B（2，1），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=（x-2）²+1的伴随直线的解析式为：y=-2x+5；
（2）∵伴随直线y=x-3与y轴的交点A（0，-3），
∴OA=3，
过B作BC⊥y轴于C，
∴$\frac{1}{2}$×3•BC=3，
∴BC=2，
把x=2代入y=x-3得y=-1，
∴B（2，-1），
把A（0，-3），B（2，-1）代入y=a（x-m）²+n得-3=a（0-2）²-1，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²-1．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．