Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点，点，且.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上一动点，过P作交BC于D，当面积最大时，求点P的坐标；

（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当恰好等于中的某个角时，求点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，S最大，此时；（3）或

【解析】

（1）先根据射影定理求出点，设抛物线的解析式为：，将点代入求出，然后化为一般式即可；

（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设，用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；

（3）分两种情况求解：当时和当时.

（1）∵，，

∴，.

∵，

∴由射影定理可得：，

∴，∴点，

设抛物线的解析式为：，将点代入上式得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设，

设，

把，代入得

，

∴，

∴，

∴，

同样的方法可求，

故可设，把代入得，

联立解得：，

∴，

，

故当时，S最大，此时；

（3）由题知，，

当时，，

∴点C与点M关于对称轴对称，

∴；

当时，过M作于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，

∵∠，BFM=∠BGF，

∴△MFK∽△FGB，

同理可证：，

∴，，

设，则，

∴，

∴，代入，

解得

，或（舍去），

∴，

故或.