Question

12．求代数式$\frac{{x}^{2}-3x+4}{{x}^{2}+3x+4}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 当x=0时，可求得代数式的值为1，当x≠0时，将原式变形为1-$\frac{6x}{{x}^{2}+3x+4}$，然后分子分母同时除以x的到原式=1-$\frac{6}{x+3+\frac{4}{x}}$，然后分为x＞0和x＜0两种情况求解即可．

解答 解：当x=0时，代数式的值为1．
当x≠0时，将原式变形为1-$\frac{6x}{{x}^{2}+3x+4}$=1-$\frac{6}{x+3+\frac{4}{x}}$．
当x＞0时，x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4．
所以代数式的最小值=1-$\frac{6}{7}$=$\frac{1}{7}$．
当x＜0时，x+$\frac{4}{x}$≤-4
所以代数式的最大值=1-$\frac{6}{-4+3}$=1+6=7．
所以代数式的最大值为7，最小值为$\frac{1}{7}$．

点评 本题主要考查的是求代数式的值，找出代数式取得最大值和最小值的条件是解题的关键．