题目内容

3．已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[-1.2]=-2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x-[x]．
（1）当x=2.15时，求y=x-[x]的值；
（2）当0＜x＜2，求函数y=x-[x]的表达式，并画出函数图象；
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x-[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．

分析 （1）根据[x]的定义进行计算即可；
（2）由已知条件：0＜x＜1，1≤x＜2进行分类讨论，由此可求出结论；
（3）根据（2）的条件下，在两个范围内求不等式组即可．

解答 解：（1）当x=2.15时
y=x-[x]
=2.15-[2.15]
=2.15-2
=0.15；

（2）①当0＜x＜1时，[x]=0，
∵y=x-[x]，
∴y=x，
②当1≤x＜2时，[x]=1，
∵y=x-[x]，
∴y=x-1；

（3）在（2）的条件下，函数y=x-[x]如图，OA=$\sqrt{2}$，
①当0＜x＜1时，0＜r＜1，且r＜0A=$\sqrt{2}$，即0＜r＜1，
②当1≤x＜2时，1＜r＜2，且$\sqrt{2}$≤r$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又∵r≤2，
∴$\sqrt{2}$≤r≤2，
综上所述：0＜r＜1或$\sqrt{2}$≤r≤2．

点评 本题主要考查了函数值的求法，是基础题，注意认真审题，解题的关键是能够数形结合思想和分类思想的合理运用．

练习册系列答案
相关题目
13．如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为y=$\frac{9}{14}$x．
14．下列计算正确的是（　　）
A．（3a）2=6a2B．（-3）-2=6C．$\sqrt{（-2）^{2}}$=-2D．$\sqrt{18}$+$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$
11．下列计算结果为a5的是（　　）
A．（a3）2B．a3+a2C．a6-a1D．a3•a2
18．下列各数中比1小的数是（　　）
A．$\sqrt{3}$B．$\sqrt{2}$C．1D．0
8．如图，矩形ABCD中，点O在BC上，OB=2OC=2，以O为圆心OB的长半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为$\frac{2π}{3}$-$\sqrt{3}$．
15．先化简，再求值：（1-$\frac{x}{x-1}$）÷$\frac{1}{{x}^{2}-x}$，其中x=2．
12．在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（　　）
A．（2，1）B．（2，-1）C．（-2，1）D．（-2，-1）
13．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．
求证：a2+b2=5c2
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故$\frac{EP}{BP}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BA}=\frac{1}{2}$，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证
（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
（2）利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网