Question

3．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；
（2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：$\frac{PE}{BC}=\frac{PG}{GB}$，即$\frac{b}{a}=\frac{a-b}{2b-a}$，
解得：a=$\sqrt{2}$b，得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行线的内错角得：∠AEC=∠ACB=45°．
解法二：同理得a与b的比，根据a=$\sqrt{2}$b，BE=$\sqrt{2}$BF，得BE=BC，可得结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB=BC，BP=BF，
∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=CF}\\{∠P=∠F}\\{PE=EF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CFE，
∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是：
如图2，∵P为AB的中点，
∴PA=PB，
∵PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）解法一：如图3，设CE交AB于G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，
∵PE∥CF，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{PG}{GB}$，即$\frac{b}{a}=\frac{a-b}{2b-a}$，
解得：a=$\sqrt{2}$b，
∴a：b=$\sqrt{2}$：1，
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2$\sqrt{2}$b-2b）=（2-$\sqrt{2}$）b，
又∵BG=2b-a=（2-$\sqrt{2}$）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．

解法二：如图4，连接BE，
易得a=$\sqrt{2}$b，
∴a：b=$\sqrt{2}$：1，
∵BE=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$b，
∴BE=a=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠FBE=∠BCE+∠BEC=45°，
∴∠BCE=22.5°，
∴∠AEC=2∠PEC=2∠BCE=45°．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、角平分线的逆定理、等腰直角三角形的性质和判定，前两问难度不大，第三问有难度，作辅助线，设CD=a，PC=b，表示GH和BG的长是关键．