Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，根据三角形的面积公式得到BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=$\frac{4}{3}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BE}$，
∵E是BC的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE²=AB²=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴$\frac{FG}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BG}{BC}$，
∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，BG=$\frac{2}{3}$，
∴CG=$\frac{4}{3}$，
∴CF=$\sqrt{F{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．