Question

14．为庆祝“五一国际劳动节”，某工厂计划派人去购买A、B、C三种奖品共50件进行抽奖活动，其中B型奖品件数比A型奖品件数的2倍少10件，C型奖品所花费用不超过B型奖品所花费用的1.5倍．各种奖品的单价如表所示．如果计划A型奖品买x件，买50件奖品的总费用是W元．
（1）试求W与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一种方案，使得购买这三种奖品所花的总费用最少，并求出最少费用．

	A型奖品	B型奖品	C型奖品
单价（元）	120	100	50

Answer 1

分析 （1）根据题意求出B型奖品（2x-10）件，C型奖品（60-3x）件，列出算式w=120x+100（2x-10）+50（60-3x）即可，再根据A型奖品与B型奖品的和要小于总数50件即可求出答案；
（2）根据议程函数的性质求出x取最小时w的值即可．

解答 （1）解：由题意得A型奖品x件，B型奖品（2x-10）件，C型奖品（60-3x）件，
w=120x+100（2x-10）+50（60-3x）=170x+2000，
根据题意得出不等式组
$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x-10≥0}\\{50（60-3x）≤1.5×10（2x-10）}\end{array}\right.$，
解得x≥10，
∵A型奖品与B型奖品的和要小于等于总数50件，
∴x+2x-10≤50，
∴x≤20，
∴自变量x的取值范围是10≤x≤20，
答：w与x之间的函数关系式是w=170x+2000，自变量x的取值范围是10≤x≤20．

（2）解：在w=170x+2000中，
∵17＞0，
∴w随x的减小而减小，
∴当x=10时，w取得最小值，最小值为3700，
即购买A型奖品10件，B型奖品10件，C型奖品30件，可使购买这三种奖品所花的总费用最少，最少费用为3700元，
答：购买A型奖品10件，B型奖品10件，C型奖品30件，可使购买这三种奖品所花的总费用最少，最少费用为3700元．

点评 本题主要考查对一次函数的性质，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．