Question

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点 ．

【小题1】求直线BC及抛物线的解析式
【小题2】设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
【小题3】连结CD，求∠OCA与∠OCD两角度数的和

Answer 1

【小题1】沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，．
设直线的解析式为．在直线上，．
解得，直线的解析式为．  ……………………………1分
抛物线过点，

解得
抛物线的解析式为．             ………………………3分
【小题2】由．
可得．，，，．
可得是等腰直角三角形．
，．
如图，设抛物线对称轴与轴交于点，
．
过点作于点．．可得，．
在与中，，，
．，．解得． ……………5分
点在抛物线的对称轴上，
点的坐标为或．                ………………………………7分
【小题3】作点A（1,0）关于y轴的对称点A′，则A′（-1,0）。
连结A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OC A′=∠OCA。
由勾股定理可得CD²=20， A′D²=10，
又 A′C²=10∴ A′D²+ A′C²=CD²。
∴△ A′DC是等腰直角三角形，∠C A′D=90º，
∴∠DC A′=45º，∴∠OC A′+∠OCD=45º，∴∠OCA+∠OCD=45º，
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45º。   ………………………………………10分解析:
（1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式．然后又已知抛物线y=x²+bx+c过点B，C，代入求出解析式．
（2）由y=x²-4x+3求出点D，A的坐标．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．过A点作AE⊥BC于点E，求出BE，CE的值．证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标．
（3）本题要靠辅助线的帮助．作点A（1，0）关于y轴的对称点A'，则A'（-1，0），求出A'C=AC，由勾股定理可得CD，A'D的值．得出△A'DC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度．