Question

16．已知抛物线y=x²+（2k+1）+k²+1（k是常数）与x轴交于A（x₁，0），A（x₂，0）（x₁＜x₂）两点．
（1）求实数k的取值范围．
（2）O为坐标原点，若OA+OB=OA•OB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点问题可判断方程x²+（2k+1）+k²+1的两个实数解，利用判别式的意义得到△=（2k+1）²-4（k²+1）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系可k的范围得到x₁+x₂=-（2k+1）＜0，x₁•x₂=k²+1＞0，则利用有理数的性质可判断x₁＜0，x₂＜0，则OA=-x₁，OB=-x₂，所以2k+1=k²+1，解得k₁=0，k₂=2，然后根据（1）中k的范围可确定k的值．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程x²+（2k+1）+k²+1的两个实数解，
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）＞0，
∴k＞$\frac{3}{4}$；
（2）根据题意得x₁、x₂是方程x²+（2k+1）+k²+1的两个实数解，且k＞$\frac{3}{4}$，
∴x₁+x₂=-（2k+1）＜0，
x₁•x₂=k²+1＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=2k+1，
OA•OB=-x₁•（-x₂）=x₁•x₂，
∴2k+1=k²+1，
整理得k²+2k=0，
∴k₁=0，k₂=2，
又∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．熟练掌握根的判别式的意义和根与系数的关系是解决此题的关键．