题目内容
如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．已知△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．（1）利用直尺和圆规，在图②中作出△ABC的自相似点P（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）若△ABC的三内角平分线的交点P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
【答案】分析：（1）作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD=∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC；BD交CE于点P，如图所示，P为△ABC的自相似点；
（2）根据题意画出相应的图形，连接BP，CP，由P为三角形ABC的内心，得到BP、CP分别为角平分线，可得出∠PBC为∠ABC的一半，∠PCB为∠ACB的一半，而P为三角形的自相似点，根据题意只能是三角形BPC相似于三角形ABC，根据相似三角形的对应角相等得到∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，∠BPC=∠ACB，由三角形ABC三内角之和为180°，等量代换可得出∠BAC的度数，进而求出∠ABC与∠ACB的度数．
解答：解：（1）如图所示：
∴点P为所求作的点；
（2）如图所示：
连接PB，PC，
∵P为△ABC的内心，
∴∠PBC=
∠ABC，∠BCP=
∠ACB，
即∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
而P为△ABC的自相似点，由条件可知，只能是△BCP∽△ABC，
∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC，
∴∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC，
∴∠ACB=2∠BCP=4∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC=180°，
∴∠BAC=
，
则该三角形三个内角的度数分别为（
）°，（
）°，（
）°．
点评：此题属于相似的综合题，涉及的知识有：尺规作图作一个角等于已知角，相似三角形的性质，三角形的内心，以及三角形的内角和定理，利用了转化及等量代换的思想，其中弄清题中的新定义：自相似点是解本题的关键．
（2）根据题意画出相应的图形，连接BP，CP，由P为三角形ABC的内心，得到BP、CP分别为角平分线，可得出∠PBC为∠ABC的一半，∠PCB为∠ACB的一半，而P为三角形的自相似点，根据题意只能是三角形BPC相似于三角形ABC，根据相似三角形的对应角相等得到∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，∠BPC=∠ACB，由三角形ABC三内角之和为180°，等量代换可得出∠BAC的度数，进而求出∠ABC与∠ACB的度数．
解答：解：（1）如图所示：
∴点P为所求作的点；
（2）如图所示：
连接PB，PC，
∵P为△ABC的内心，
∴∠PBC=
∠ABC，∠BCP=
∠ACB，即∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
而P为△ABC的自相似点，由条件可知，只能是△BCP∽△ABC，
∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC，
∴∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC，
∴∠ACB=2∠BCP=4∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC=180°，
∴∠BAC=
，则该三角形三个内角的度数分别为（
）°，（
）°，（
）°．点评：此题属于相似的综合题，涉及的知识有：尺规作图作一个角等于已知角，相似三角形的性质，三角形的内心，以及三角形的内角和定理，利用了转化及等量代换的思想，其中弄清题中的新定义：自相似点是解本题的关键．
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