Question

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为 BD的中点，PO的延长线交BC于Q。
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PDQB是菱形。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO ，又OB=OD，
∴∠POD=∠QOB ，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
（2）PD=8-t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A =90°，
∵AD=8，AB=6，
∴，
∴OD=5，
当四边形PDQB是菱形时，PQ⊥BD，
∴∠POD=∠A，
又∠ODP=∠ADB，
∴△ODP∽△ADB，
∴，
即，
解得，
∴运动时间为秒时，四边形PDQB是菱形。