Question

如图1，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与边BC和AC相交于点E和F，过点E作⊙O的切线交边AC于点H．
（1）求证：CH=FH；
（2）如图2，连接OH，若OH=

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，HC=1，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：综合题

分析：（1）连接AE，OE和FE，由AB为圆O的直径，利用直角所对的圆周角为直角得到∠AEB为直角，再由AB=AC，利用三线合一得到BE=CE，根据EH为圆O的切线，利用切线的性质得到EH垂直于OE，得到EH垂直于AC，利用圆内接四边形对角互补及邻补角定义得到∠EFC=∠B，再由∠B=∠C，等量代换得到∠EFC=∠C，利用等角对等边得到EF=EC，利用三线合一即可得证；
（2）过点O作OD⊥AC，可以垂径定理得到D为AF中点，设圆O的半径为r，表示出AF，AD，以及HD，在直角三角形OAD中，表示出OD²，在直角三角形ODH中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆半径r．

解答：（1）证明：连接AE，OE和FE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴BE=EC，
∴OE∥AC，
∵EH为圆O的切线，
∴EH⊥OE，
∴EH⊥AC，
∵∠B+∠AFE=180°，∠EFC+∠AFE=180°，
∴∠B=∠EFC，
∵∠B=∠C，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC，
∴CH=FH；
（2）解：过点O作OD⊥AC，得到D为AF中点，
设圆O的半径为r，则AF=AC-FC=AB-2CH=2r-2，AD=

1

2

=r-1，HD=r-1+1=r，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：OD²=OA²-AD²=r²-（r-1）²，
在Rt△ODH中，根据勾股定理得OD²+DH²=OH²，即r²-（r-1）²+r²=（

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）²，
解得：r=-4（舍去）或r=2，
则圆O的半径为2．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．