Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形；…，按照这样的规律作正方形，则点的纵坐标为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据两对对应角相等的三角形相似，证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，即后一个三角形与前一个三角形的相似比为，点B的纵坐标的值为三角形的高，因此B点的纵坐标的值依次增大倍．

解：，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

又∵在坐标平面内，∠DAO+∠ADO=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

在△AOD和△A1BA中，

，

∴△AOD∽△A1BA，

∴OD：AO=AB：A1B=2，

∴BC=2A1B，

∴，

过点B作BE⊥x轴，

易证，

∴BE=OA=1，

即B点纵坐标的值为1，

∴纵坐标的值为：，

∴点的纵坐标的值为：．

故答案为：．