Question

如图，在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，AC=1，AB=2，则何时矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：设PA=x 矩形PMCN的面积为y 则BP=AB-AP=2-x，由勾股定理可求出BC的长，再根据相似三角形的性质可得到PM，PN的值，根据矩形的面积公式计算即可．

解答：解：设PA=x 矩形PMCN的面积为y 则BP=AB-AP=2-x，
在直角△ABC中：∵AC=1 AB=2，
∴BC=

3

，
∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM‖AC，PN‖BC，
∴

PM

AC

=

BP

BA

，

PA

AB

=

PN

BC

，
∴

PM

1

=

2-x

2

，

x

2

=

PN

3

，
∴PM=

2-x

2

，PN=

3

2

，
∴y=PM×PN=

2-x

2

×

3

2

x=

3

4

（2x-x²），
=-

3

4

（x-1）²+

3

4

∴当x=1时，即PA=1，P是AB的中点时矩形PMCN的面积最大，最大面积是

3

4

．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理的运用，相似三角形的判定与性质，矩形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用及最值的确定．