Question

15．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD．
（1）判断△COD的形状，并证明；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）直接写出α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出CO=CD、∠OCD=60°即可知△COD是等边三角形；
（2）由旋转可以得出 OC=DC，∠DCO=60°，就可以得出△ODC是等边三角形，就可以得出∠ODC=60°，从而得出∠ADO=90°，而得出△AOD的形状；
（3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可．

解答 解：（1）△COD是等边三角形，
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°
∴CO=CD
∴△COD是等边三角形．

（2）当α=150°时，△AOD是直角三角形．
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC=150°
由（1）△COD是等边三角形
∴∠ODC=60°
∴∠ADO=150°-60°=90°
当α=150°时，△AOD是直角三角形．

（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α
∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
①当∠DAO=∠DOA时，
2（190°-a）+a-60°=180°，
解得：a=140°
②当∠AOD=ADO时，
190°-a=a-60°，
解得：a=125°，
③当∠OAD=∠ODA时，
190°-a+2（a-60°）=180°，
解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．