Question

在△ABC中，∠C=30°，∠ABC=90°，点D、E分别为边AB、AC上的点，BD=CE，点F为AC中点，连接DF，点G为FD中点，连接AG，BE．

（1）求证：2AG=BE；
（2）延长AG交BE于M，过F作FN∥BE交AM于N，若GN=1，EM=2，求BM的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：计算题

分析：（1）首先可判断四边形ADHF是平行四边形，再由直角三角形30°角所对的边等于斜边一半可得，再根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质可得△EFM≌△HFN，利用全等三角形的性质解答即可．

解答： （1）证明：延长AG至H，使GH=AG，连接DH，FH，
∵GD=GF，
四边形ADHF是平行四边形，
∴FH=AD，AF=DH．
连接BF，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AF=CF，
∴BF=AF=CF=AB，∠BAF=∠ABF=∠AFB=60°，
∵BD=CE，
∴AD=EF=FH，
∴∠HDA=∠BFE=120°，
∵DH=AF，
∴DH=BF，
在△ADH和△BFE中，

AD=EF ∠HDA=∠BFE DH=BF

，
∴△ADH≌△BFE（SAS），
∴AH=BE=2AG；
（2）解：由（1）可知∠EFH=∠BAC=60°，∠AFH=60°=∠AFB，∠HAD=∠AHF=∠BEF，
∵FN∥BE，∠AFN=∠AEM，
∵∠HAD+∠HAE=∠BAC=∠AEB+∠HAE=∠AFN+∠HAE=60°，
∵∠EBF=∠AHD=∠HAF，
∴A、B、M、F四点共圆，∠AMF=∠ABF=60°，△FMN是等边△，
∴∠EFH+∠MFH=∠MFN+∠MFH，∠EFM=∠HFN，
∴△EFM≌△HFN（AAS），
∴ME=NH=2，
∴AH=BE=2AG=2GH=2（GN+ME）=2（1+2）=6，
∴BM=BE-EM=6-2=4．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．