Question

（2013•门头沟区二模）如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若

CE

CD

=

1

2

，则BN的长是

5

4

，

AM

BN

的值等于

1

5

；若

CE

CD

=

1

n

（n≥2，且n为整数），则

AM

BN

的值等于

(n-1)2

n2+1

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：求出CE，根据勾股定理求出BN、EN，证△DEQ∽△CNE，求出DQ、QE长，在Rt△MFQ中，根据勾股定理求出AM即可．

解答：解：∵沿MN折叠B和E重合，
∴BN=NE，
∵

CE

CD

=

1

2

，CD=2，
∴CE=1，
设BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=1²+（2-x）²
x=

5

4

，
BN=NE=

5

4

．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴

CE

DQ

=

EN

QE

=

CN

DE

，
∴

1

DQ

=

5 4

EQ

=

2- 5 4

2-1

，
DQ=

4

3

，EQ=

5

3

，
∵折叠A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
（2-

4

3

-AM）²=AM²+（2-

5

3

）²，
AM=

1

5

．

∵沿MN折叠B和E重合，
∴BN=NE，
∵

CE

CD

=

1

n

，CD=2，
∴CE=

2

n

，
设BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=（

2

n

）²+（2-x）²
x=

1+n2

n2

，
BN=NE=

1+n2

n2

．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴

CE

DQ

=

EN

QE

=

CN

DE

，
∴

2 n

DQ

=

1+n2 n2

EQ

=

2- 1+n2 n2

2- 2 n

，
DQ=

4

n+1

，EQ=

2+2n2

n2+n

，
∵折叠A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
（2-

4

n+1

-AM）²=AM²+（2-

2+2n2

n2+n

）²，
AM=

(n-1)2

n2

，
∴

AM

BN

=

(n-1)2

n2+1

，
故答案为：

5

4

，

1

5

，

(n-1)2

n2+1

．

点评：本题考查了折叠的性质，正方形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，用了方程思想．