Question

设函数f（x）=ax²+4x+b，关于x的方程f（x）=x的两个实数根为β₁，β₂．若a、b均为负整数，且|β₁-β₂|=1，则函数f（x）的图象的顶点坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：先根据题意得到关于x的一元二次方程ax²+3x+b=0，利用根的判别式得到4ab＜9，由于a、b均为负整数，则a=-1，b=-1，或a=-1，b=-2，或a=-2，b=-1，再利用根与系数的关系和完全平方公式（-

3

a

）²-

4b

a

=1，整理得a²+4ab-9=0，则可判断a=-1，b=-2，接着利用配方得到f（x）=-（x-2）²+2，然后根据二次函数的性质得到函数f（x）的图象的顶点坐标．

解答：解：根据题意得ax²+4x+b=x，
整理得ax²+3x+b=0，
∵△=9-4ab＞0，即4ab＜9，
而a、b均为负整数，
∴a=-1，b=-1，或a=-1，b=-2，或a=-2，b=-1，
∵β₁+β₂=-

3

a

，β₁，•β₂=

b

a

，
而|β₁-β₂|=1，
∴（β₁-β₂）²=1，
∴（β₁+β₂）²-4β₁β₂=1，
∴（-

3

a

）²-

4b

a

=1，
整理得a²+4ab-9=0，
∴a=-1，b=-2，
∴f（x）=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∴函数f（x）的图象的顶点坐标为（2，2）．
故答案为（2，2）．

点评：本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．也考查了根的判别式和根与系数的关系．