Question

如图，二次函数的图象经过A（1，0），B（3，0）及在正比例函数y=x上的动点P
（1）若该二次函数图象的开口方向向上，选取一个你喜欢的且满足要求的点P，求出该二次函数的解析式；
（2）哪些点P与A，B两点不能确定二次函数？请说明理由；
（3）若该二次函数图象的顶点在y=x上，求点P的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）选取P（

1

2

，

1

2

），设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把P坐标代入求出a的值，即可确定出解析式；
（2）P点为原点（0，0）点时，不能与A，B确定二次函数，理由为此时三个点都在x轴上；
（3）该二次函数图象的顶点在y=x上，设P（m，m），由二次函数的性质得到PA=PB，求出m的值，确定出P坐标即可．

解答：解：（1）假设P（

1

2

，

1

2

），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把x=

1

2

，y=

1

2

代入得：

1

2

=a•（-

1

2

）•（-

5

2

），
解得：a=

2

5

，
此时抛物线解析式为y=

2

5

x²-

8

5

x+

6

5

；
（2）P点为原点（0，0）点时，不能与A，B确定二次函数，原因为：此时三线共线；
（3）若二次函数图象的顶点在y=x上，设顶点坐标为（m，m），
此时PA=PB，即（m-1）²+m²=（m-3）²+m²，
解得：m=2，
则点P的坐标为（2，2）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．