Question

如图，△ABC的内切圆的圆心是M（-1，1），B（-1-

3

，0），C（1+

3

，0），则△ABC的面积S的值是

 

．

Answer 1

分析：连接BE，则BE过M，根据三角形的内切圆求出BE过M，根据点的坐标求出∠CBE=30°，根据线段的垂直平分线性质求出∠ACB=∠EBC=30°，求出∠A=90°，根据直角三角形性质和勾股定理求出AC和AB，根据三角形的面积求出即可．

解答：解：连接BE，
∵圆M切AC于E，切BC于F，切AB于W，切Y轴于N，
∴BW=BF，EQ=EN，
则BE过M，
∵M（-1，1），B（-1-

3

，0），C（1+

3

，0），
∴BF=1+

3

-1=

3

，MF=1，
由勾股定理得：BM=2，
∴MF=

1

2

BM，
∴∠EBC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵X轴⊥Y轴，
∵OC=OB=1+

3

，
∴EB=EC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=90°，
∴AB=

1

2

BC=

1

2

×（2+2

3

）=1+

3

，
由勾股定理得：AC=3+

3

，
∴三角形ABC的面积是

1

2

AC×AB=

1

2

×（1+

3

）×（3+

3

）=3+2

3

．
故答案为：3+2

3

．

点评：本题主要考查对勾股定理，线段的垂直平分线性质，三角形的面积，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内切圆与内心，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．