Question

两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点.

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图③.探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I =CI.

 

Answer 1

【答案】

（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH 、△ECH．

（2）= 

证明：∵∴△AF₁C ≌△D₁H₁C.

∴ F₁C= H₁C， 又CD₁=CA，

∴CD₁- F₁C ="CA-" H₁C.即

（3）连结CG₁.

在△D₁G₁F₁和△AG₁H₁中，

∵，∴△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁.

∴G₁F₁=G₁H₁

又∵H₁C=F₁C，G₁C=G₁C，∴△CG₁F₁≌△CG₁H₁.

∴∠1=∠2.  

∵∠B=60°，∠BCF="30°" ，∴∠BFC=90°.                        

又∵∠DCE=90°，∴∠BFC=∠DCE，                                   

∴BA∥CE， ∴∠1=∠3，   ∴∠2=∠3，

∴G₁I="CI"

【解析】（1）观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH；

（2）利用SAS即可判定△AF₁C≌△D₁H₁C，则可得对应线段相等，即可求得D₁F₁=AH₁；

（3）首先连接CG₁，利用AAS即可证得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁．然后可证得△CG₁F₁≌△CG₁H₁．又由平行线的性

质即可求得答案．