Question

如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，AD=，DC=5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG=60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d≤4时，试判断直线FG与圆O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）连接OD，OE，
∵等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，
∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四边形AEOD是矩形，
∴AD=AE，
∴四边形AEOD是正方形，
∴OD=AD=，∠DOE=90°，
∴S_阴影=S_{正方形AEOD}-S_扇形ODE=（）²-=3-π；

（2）当FG与⊙O切于M，连接OD，OM，OF，过点C作CN⊥FG于N，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴∠OFD=∠DFM，
∵∠CFG=60°，
∴∠DFM=120°，
即∠OFD=60°，
∴DF===1，
∴FC=CD-DF=5-1=4，
在Rt△CFN中，d=CN=FC•sin∠CFG=4×=2，
∴当d=2时，直线FG与⊙O相切，
当1≤d＜2时，直线FG与⊙O相离，
当2＜d≤4时，直线FG与⊙O相交．
分析：（1）首先连接OD，OE，由等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，根据切线的性质，易证得四边形AEOD是正方形，然后由S_阴影=S_{正方形AEOD}-S_扇形ODE，即可求得答案；
（2）首先由当FG与⊙O切于M，连接OD，OM，OF，过点C作CN⊥FG于N，根据切线长定理，求得DF的长，然后根据直角三角形的性质，求得CN的长，继而可得直线FG与圆O的位置关系．
点评：此题考查了圆的切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．