Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，2），若AB=4，且∠ABO=120°，则点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$+2）或（-2，2$\sqrt{3}$+2）．

Answer 1

分析 分类讨论：当点A在第一象限内，作AH⊥y轴于H，如图，由∠ABO=120°得到∠ABH=60°，则利用含30度的直角三角形三边的关系得到HB=$\frac{1}{2}$AB=2，AH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，于是可得A点坐标为（2，2+2$\sqrt{3}$）；当点A在第二象限内，同样方法可得A点坐标为（-2，2+2$\sqrt{3}$）．

解答 解：当点A在第一象限内，作AH⊥y轴于H，如图，
∵∠ABO=120°，
∴∠ABH=60°，
在Rt△ABH中，∵∠A=30°，
∴HB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
AH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
∴OH=OB+BH=2+2$\sqrt{3}$，
∴A点坐标为（2，2+2$\sqrt{3}$）；
当点A在第二象限内，同样方法可得A点坐标为（-2，2+2$\sqrt{3}$）．
故答案为（2，2+2$\sqrt{3}$），（-2，2+2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．记住含30度的直角三角形三边的关系．