Question

在△ABC中，点P从点B出发向C点运动，运动过程中设线段AP长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y与x的函数图象如图乙所示，Q（1，

3

）是图象上的最低点．请观察图甲、图乙，回答下列问题：
（1）直接写出AB=

 

，BC边上的高AH=

 

．
（2）求AC的长；
（3）若△ABP是等腰三角形，则x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：动点问题的函数图象

专题：数形结合

分析：（1）当x取0时，y的值即是AB的长度，图乙函数图象的最低点的y值是AH的值；
（2）在直角△ACH中，由勾股定理来求AC的长度；
（3）当点P运动到点H时，此时BP（H）=1，AH=

3

，在Rt△ABH中，可得出∠B=60°，则判定△ABP是等边三角形，故BP=AB=2，即x=2．

解答：解：（1）当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2；
图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH=

3

．
故答案是：2；

3

；

（2）如图乙所示：BC=6，BH=1，则CH=5．
又AH=

3

，
∴直角△ACH中，由勾股定理得：AC=

AH2+CH2

=

3+52

=2

7

，
即AC=2

7

；

（3）在Rt△ABH中，AH=

3

，BH=1，tan∠B=

3

，则∠B=60°．
又△ABP是等腰三角形，
∴△ABP是等边三角形，
∴BP=AB=2，即x=2．
故答案是：x=2．

点评：此题考查了动点问题的函数图象，有一定难度，解答本题的关键是结合图象及函数图象得出AB、AH的长度，第三问推知△ABP是等边三角形是解题的难点．