Question

【题目】我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15

依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝___；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝___．

Answer 1

【答案】（1）105； （2）315．

【解析】

（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和；

（2）根据x的特殊值代入要解答，即把x=1代入时，得到结论．

（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，

（a+b）2的第三项的系数为：1，

（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，

（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，

…

∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；

（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；

（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；

不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），

∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．

故答案为：105；

（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．

当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，

故答案为：315．