Question

【题目】如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为．

求证：为的中点；

（2）若的面积为，两个三角形和的外接圆面积之比为，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明∠EDB=∠EBD，则∠BDC=90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM=，即HM：BH=，得∠BMH=30°=∠BAC，即可求解．

解：连接，

是直径，则，

是切线，

，

，

，即是圆的切线，

，

，则，

为的中点；

和的外接圆面积之比为，

则两个三角形的外接圆的直径分别为，

，

而，

，

则，

，

，

是直角三角形的中线，

，

为等边三角形，

的面积：，

则，

，而，

四边形的外接圆面积，

等边三角形边长为，则其内切圆的半径为：，面积为，

故的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比为：．