Question

【题目】思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　 　米．

思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．

①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是　 　；

②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．

Answer 1

【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE，见解析；③PC2＝.

【解析】

（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC即可证明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解题．

（2）①延长EP交BC于F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE．

②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合已知得BF＝DE＝AE，再证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE．

③作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可证可得PC＝PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2＝CH2+HE2＝，即可求出

（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，

在△ABP和△DCP中，

，

∴△ABP≌△DCP（SAS），

∴DC＝AB．

∵AB＝200米．

∴CD＝200米，

故答案为：200．

（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．

理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，

同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），

∴PF＝PE，BF＝DE，

又∵AC＝BC，AE＝DE，

∴FC＝EC，

又∵∠ACB＝90°，

∴△EFC是等腰直角三角形，

∵EP＝FP，

∴PC＝PE，PC⊥PE．

②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．

理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，

同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），

∴BF＝DE，PE＝PF＝，

∵DE＝AE，

∴BF＝AE，

∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，

∴ED∥AC，EA∥BC

∵FB∥AC，∠FBC＝90，

∴∠CBF＝∠CAE，

在△FBC和△EAC中，

，

∴△FBC≌△EAC（SAS），

∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠FCE＝90°，

∴△FCE是等腰直角三角形，

∵EP＝FP，

∴CP⊥EP，CP＝EP＝．

③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，

当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，

∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°

同②可得△FBP≌△EDP（SAS），

同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝，

在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，

∴HE＝，AH＝，

又∵AC＝AB＝3，

∴CH＝3+，

∴EC2＝CH2+HE2＝

∴PC2＝