Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx+1与双曲y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点D（1，-2），连结OA、OD、DC、AC，四边形AODC为菱形．
（1）求k和m的值；
（2）根据图象写出反比例函数的值小于2时x的取值范围；
（3）设点P是y轴上一动点，且S_△OAP=S_菱形OACD，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数函数解析式可求得k和m值；
（2）由（1）可知A点坐标为（1，2），结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；
（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为（0，y），根据条件可得到关于y的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D（1，2），
∴OE=1，ED=2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE=DE=2，EC=OE=1，
∴A（1，2），
将A（1，2）代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，
将A（1，2）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，可求得k=2；
（2）∵当x=1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
此时x的取值范围为：x＜0或x＞1；
（3）∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴S_菱形OACD=$\frac{1}{2}$OC•AD=4，
S_△OAP=S_菱形OACD，
∴S_△OAP=4，
设P点坐标为（0，y），则OP=|y|，
∴$\frac{1}{2}$×|y|×1=4，即|y|=8，
解得y=8或y=-8，
∴P点坐标为（0，8）或（0，-8）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想等．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中注意数形结合思想的应用，在（3）中注意P点有两种情况．本题考查知识点较为基础，属于基础题，难度不大．