Question

如图，AE是⊙O的切线，切点为A，BC∥AE，BD平分∠ABC交AE于点D，交AC于点F
（1）求证：AC=AD；
（2）若BC=，FC=，求AB长．

Answer 1

（1）证明：作直径AG交BC于H，

∵AE是⊙O的切线，切点为A，
∴AG⊥AD，
∵BC∥AE，
∴AG⊥BC，
∵AG为直径，
∴AG是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵BC∥AE，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴AC=AD．

（2）解：设AB=x，则AC=AD=x
∵BC∥AE，
∴△ADF∽△CBF，
∴
∴
∴x=6+3
分析：（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以来三角形相似，对应边成比例来求．
点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和勾股定理的运用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．