Question

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E．
（1）求证：BD²=BE•BA；
（2）若cosB=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，AE=4，求CD．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，证明∠2=∠BAD，加上∠DBE=∠ABD，则根据相似三角形的判定方法可判定△BDE∽△BAD，然后利用相似比可得到结论；
（2）先在Rt△BOD中利用余弦的定义得到cosB=$\frac{BD}{BO}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，设BD=2$\sqrt{2}$x，则BO=3x，利用勾股定理计算出OD=x，所以x=2，则BD=4$\sqrt{2}$，BO=6，然后根据平行线分线段成比例定理计算CD的长．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠4=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠1，
∴∠1=∠4，
∴AC∥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
即∠3+∠2=90°，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，即∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠BAD，
而∠DBE=∠ABD，
∴△BDE∽△BAD，
∴BD：BA=BE：BD，
∴BD²=BE•BA；

（2）∵AE=4，
∴OD=2，
在Rt△BOD中，cosB=$\frac{BD}{BO}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
设BD=2$\sqrt{2}$x，则BO=3x，
∴OD=$\sqrt{（3x）^{2}-（2\sqrt{2}x）^{2}}$=x，
∴x=2，
∴BD=4$\sqrt{2}$，BO=6，
∵OD∥AC，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BO}{OA}$，即$\frac{4\sqrt{2}}{CD}$=$\frac{6}{2}$，
∴CD=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，在应用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系．也考查了圆周角定理和平行线分线段成比例定理．