Question

如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC．

(1)求证：AC²＝AE·AB；

(2)延长EC到点P，连结PB，若PB＝PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连结BC 　　，CD为⊙O的直径∴BC＝AC 　　∴∠1＝∠2∵AE＝CE，∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3． 　　又∵∠1＝∠1 　　∴△AEC∽△ACB∴． 　　即AC2＝AB·AE⑵PB与⊙O相切 　　(2)连结OB，∵PB＝PE∴∠PBE＝∠PEB∵∠1＝∠2＝∠3， 　　∴∠PEB＝∠1＋∠3＝2∠1＝2∠2 　　∵∠PBE＝∠2＋∠PBC， 　　∴∠PBC＝∠PBE－∠2＝∠2＝∠1 　　∵∠OBC＝∠OCB在Rt△BCF中，∴∠OCB＝90°－∠2＝90°－∠1 　　∴∠OBC＝90°－∠1 　　∴∠OBP＝∠OBC＋∠PBC＝∠1＋(90°－∠1)＝90° 　　∴PB⊥OB 　　即PB为⊙O的切线