Question

23、如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，连接CA、CB．
（1）求证：∠CAB=∠CBA；
（2）在AB上有一点E，延长EC到点P，连接PB，若EA=EC，PB=PE，求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）可通过证明边相等来得出角相等，根据垂径定理不难得出，CD是AB的垂直平分线，那么BC=AB就能得出结论；
（2）连接OB然后证垂直，可根据线段相等得出角相等，然后将相等的角进行转换从而得到使∠OBP=90°的目的．

解答：证明：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴BC=AC．
∴BC=AC．
∴∠CBA=∠CAB．

（2）连接OB，
∵EC=EA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠PEB=2∠EAC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB．
∴∠PBE=2∠BAC．
∴∠PBE=2∠CBA．
∴∠PBC=∠CBF．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠CBA+∠BCP=90°，
∴∠PBC+∠OBC=90°．
即OB⊥PB，
∵点B在圆上，
∴PB是圆O的切线．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．