Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax²+bx+c过点D，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED是⊙P的切线；

（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax²+bx+c上吗？请说明理由；

（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（﹣4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），

把D（0，2）代入得a•4•（﹣2）=2，解得a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x²﹣x+2；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴=，==，

∴=，

而∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD为⊙P的直径，

∴ED是⊙P的切线；

（3）E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax²+bx+c上．理由如下：

∵△AED∽△COD，

∴=，即=，解得DE=3，

∵∠CDE=90°，DE＞DC，

∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，

而点C、D在抛物线上，

∴点E′不能在抛物线上；

（4）存在．

∵y=﹣x²﹣x+2=﹣（x+1）²+

∴M（﹣1，），

而B（﹣4，0），D（0，2），

如图2，

当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M（﹣1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N₁（﹣5，）；

当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N₂（3，）；

当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N₃（﹣3，﹣），

综上所述，点N的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）．