题目内容
如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=4
，D为边AB上一动点（D和A、B不重合），过D作DE∥BC交AC于E，并以DE为边向BC一侧作正方形DEFG，设AD=x，
（1）请用x的代数式表示正方形DEFG的面积，并求出当边FG落在BC边上时的x的值；
（2）设正方形DEFG与△ABC重合部分的面积为y，求y关于x的函数及其定义域；
（3）点D在运动过程中，是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况？若存在，请直接写出此时AD的值，若不存在，则请说明理由．
| 5 |
（1）请用x的代数式表示正方形DEFG的面积，并求出当边FG落在BC边上时的x的值；
（2）设正方形DEFG与△ABC重合部分的面积为y，求y关于x的函数及其定义域；
（3）点D在运动过程中，是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况？若存在，请直接写出此时AD的值，若不存在，则请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）首先设BC边上的高AM交DE天点P．由在△ABC中，AB=AC=，BC=4
，即可求得BM与AM的值，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形高的比等于相似比，即可求得答案；
（2）首先根据三角函数的定义求得正方形DEFG的边长为
x，然后分别从当FG在△ABC的内部时与当FG在△ABC的外部时去分析求解即可求得答案．
（3）根据题意即可得出结论．
| 5 |
（2）首先根据三角函数的定义求得正方形DEFG的边长为
2
| ||
| 5 |
（3）根据题意即可得出结论．
解答：
解：（1）作AM⊥BC于M，作BH⊥AC于H，DE如图1所示：
=
∵AB=BC=10，AC=45，BH⊥AC，
∴AH=
AC=2
，
∴BH2=AB2-AH2=102-(2
)2=80，
∴BH=4
，S△ABC=
BC•AM=
AC•BH，
∴AM=
=
=8，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
，即
=
，
∴DE=x，
∴正方形DEFG的面积为DE2=x2；
当FG落在BC上时，如图2所示：
设DE交AM于P，
∵△ADE∽△ABC，
∴
=
，即
=
，
解得：x=
；
（2）由（1）得，DE=x，
①当FG在△ABC的内部时，
如图2所示：y=DE2=x2，（0＜x＜
）；
②当FG与BC重合或在△ABC的外部时，设DG交BC于点N；如图3所示：
在Rt△DBN中，DN=8-
x，
∴y=DE•DN=x•（8-
x）=-
x2+8x（
≤x＜10）；
（3）①当AD=时，G、B在以D为圆心（DB=DG为半径）的圆上；理由如下：
当G、B在以D为圆心的圆上时，DB=DG=DE=AD，
∴D为AB的中点，
∴AD=5；
②当AD=
时，D、G在以B为圆心（BD=BG为半径）的圆上；理由如下：
当BD=BG时，N为DG的中点，
∴DN=
DG=
x，
∴
x=8-
x，
解得：x=
，即AD=
；
③当AD=
时，D、B在以G为圆心（GD=GB为半径）的圆上；理由如下：
根据题意得：GD=GB=DE=x，作GQ⊥AB于Q，如图4所示：
则Q为BD的中点，DQ=
BD=5-
，△DGQ≌△ADP，
∴DQ=AP，即5-
=
x，
解得：x=
；即AD=
．
解：（1）作AM⊥BC于M，作BH⊥AC于H，DE如图1所示：| DE |
| 10 |
| x |
| 10 |
∵AB=BC=10，AC=45，BH⊥AC，
∴AH=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
∴BH2=AB2-AH2=102-(2
| 5 |
∴BH=4
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AM=
| AC•BH |
| BC |
4
| ||||
| 10 |
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
| DE |
| BC |
| AD |
| AB |
| DE |
| 10 |
| x |
| 10 |
∴DE=x，
∴正方形DEFG的面积为DE2=x2；
当FG落在BC上时，如图2所示：
设DE交AM于P，∵△ADE∽△ABC，
∴
| DE |
| BC |
| AD |
| AB |
| x |
| 10 |
| 8-x |
| 8 |
解得：x=
| 40 |
| 9 |
（2）由（1）得，DE=x，
①当FG在△ABC的内部时，
如图2所示：y=DE2=x2，（0＜x＜
| 40 |
| 9 |
②当FG与BC重合或在△ABC的外部时，设DG交BC于点N；如图3所示：
在Rt△DBN中，DN=8-
| 4 |
| 5 |
∴y=DE•DN=x•（8-
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 40 |
| 9 |
（3）①当AD=时，G、B在以D为圆心（DB=DG为半径）的圆上；理由如下：
当G、B在以D为圆心的圆上时，DB=DG=DE=AD，
∴D为AB的中点，
∴AD=5；
②当AD=
| 80 |
| 13 |
当BD=BG时，N为DG的中点，
∴DN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
解得：x=
| 80 |
| 13 |
| 80 |
| 13 |
③当AD=
| 50 |
| 13 |
根据题意得：GD=GB=DE=x，作GQ⊥AB于Q，如图4所示：
则Q为BD的中点，DQ=
| 1 |
| 2 |
| x |
| 2 |
∴DQ=AP，即5-
| x |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
解得：x=
| 50 |
| 13 |
| 50 |
| 13 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及面积的计算；本题难度较大，解题的关键是画出图形，注意准确作出辅助线，掌握数形结合思想的运用．
练习册系列答案
相关题目
下列定理中，没有逆定理的是（ ）
| A、直角三角形的两个锐角互余 |
| B、等腰三角形两腰上的高相等 |
| C、有一个锐角对应相等的两直角三角形相似 |
| D、全等三角形的周长相等 |
甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m，设甲队每天修路xm．依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
在解方程
-1=
时，去分母正确的是（ ）
| 3x+7 |
| 4 |
| x+4 |
| 5 |
| A、5（3x+7）-1=4（x+4） |
| B、3x+7-1=x+4 |
| C、5（3x+7）-20=4（x+4） |
| D、3x+7-20=x+4 |