Question

已知等腰三角形△ABC一个内角为30°，一条边长2cm，则△ABC的周长为

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：分类讨论

分析：如图，作辅助线；运用分类讨论的数学思想按四种情况，运用勾股定理等知识逐一解析，即可解决问题．

解答：解：如图1、2，当30°内角为顶角时，
如图1，若底边BC=2，分别过点A、B作
AD⊥BC，BE⊥AC；
∵AB=AC（设为λ），
∴BD=CD=1，BE=

1

2

AB=

1

2

λ；
由勾股定理得：AD=

λ2-1

，
∵S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

AC•BE，
∴

1

2

×2•

λ2-1

=

1

2

λ2，解得：λ=

2

，
∴△ABC的周长为2

2

+2；
如图2，过点B作BE⊥AC于点E；若腰AB为2，
则BE=

1

2

AB=1，AE=

3

，CE=2-

3

；
由勾股定理：BC2=(2-

3

)2+12，
解得：BC=

6

-

2

，
∴△ABC的周长为4+

6

-

2

；
如图3、4，当30°内角为底角时，
如图3，当腰AB=2时，过点A作AD⊥BC于点D；
则AD=1，BD=CD=

3

，
∴△ABC的周长为4+2

3

；
如图4，当底边BC=2时，过点A作AD⊥BC于点D；
则BD=CD=1；设AD=λ，则AB=2λ，
由勾股定理得：4λ²=λ²+1²，解得：λ=

3

3

，
∴△ABC的周长为2+

4 3

3

，
故答案为2+2

2

或4+

6

-

2

或4+2

3

或2+

4 3

3

．

点评：该题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；运用分类讨论的数学思想来分析、判断、推理或解答．