Question

10．如图，I为△ABC的三条角平分线的交点，过I作AI的垂线交AB于点D，交AC于点E．求证：DI²=BD•CE．

Answer 1

分析 首先证明△ADI≌△AEI（ASA），进而得出∠BDI=∠IEC=∠BIC，即可得出△DBI∽△IBC，再求出△BIC∽△IEC，△DBI∽△EIC，即可得出答案．

解答 证明：∵AI平分∠BAC，DE⊥AI，
∴∠DAI=∠EAI．
在△ADI和△AEI中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAI=∠EAI}\\{AI=AI}\\{∠AID=∠AIE}\end{array}\right.$，
∴△ADI≌△AEI（ASA），
∴∠ADI=∠AEI，DI=EI，
∴∠BDI=∠IEC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDI=∠IEC=∠BIC，
∵I是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠DBI=∠CBI，
∴△DBI∽△IBC，
同理可得出：△BIC∽△IEC，
∴△DBI∽△EIC，
∴$\frac{BD}{IE}$=$\frac{ID}{EC}$，
∵DI=EI，
∴DI²=BD•CE．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDI=∠IEC=∠BIC是解题关键．