题目内容
20．如图，已知点A与点B（2，1），在抛物线C1：y=-$\frac{3}{2}$x2+bx上，过点A作AC∥y轴交OB于点C，且tan∠OAC=$\frac{1}{2}$．（1）求b的值及点C的坐标；
（2）将抛物线C1沿y轴上下平移，平移后的抛物线C2交直线AB与点E（$\frac{7}{3}$，$\frac{2}{3}$）交y轴于点F，点D（2，m）为平移后的抛物线C2上一点，点P为直线EF上一点，如果△ACO∽△PDF，求点P坐标；
（3）将抛物线C1与△ACO同时平移点A，C，O平移后分别记为A′，C′，O′，若点A′恰好落在线段AB上，△A′，C′，O′与△AOB重叠部分的面积是$\frac{3}{16}$，求平移后的抛物线C3的表达式．
分析 （1）首先求出b，设点A坐标（m，2m），代入抛物线解析式，即可解决问题．
（2）根据点E坐标，首先求出平移后的抛物线的解析式，由△ACO∽△PDF，推出$\frac{PF}{OA}$=$\frac{DF}{OC}$，列出方程即可解决问题．
（3）如图3中，设平移后的△A′O′C′与△OAB的重叠部分是△A′MN，由△OAC∽△NA′M，得到$\frac{{S}_{△A′MN}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{A′M}{AC}$）2，由此可以推出A′M是△OAB中位线，求出点A′的坐标，根据平移规律求出平移后的抛物线的顶点坐标即可解决问题，
解答 解：（1）把点B代入抛物线解析式得到1=-6+2b，
∴b=$\frac{7}{2}$，
∵tan∠OAC=$\frac{1}{2}$，
∴可以假设点A坐标（m，2m），代入抛物线解析式y=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x，
得到2m=-$\frac{3}{2}{m}^{2}$+$\frac{7}{2}m$，解得m=，1或0（舍弃），
∵直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴点C坐标（1，$\frac{1}{2}$）．
（2）如图1中，设平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x+b，
把点E代入得到，$\frac{2}{3}$=-$\frac{3}{2}$×$\frac{49}{9}$+$\frac{49}{6}$+b，
∴b=$\frac{2}{3}$，
∴平移后的抛物线解析式y=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x+$\frac{2}{3}$，
∴点D坐标（2，$\frac{5}{2}$），点F坐标（0，$\frac{2}{3}$），
∴tan∠DFE=$\frac{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠OAC=$\frac{1}{2}$，
∴∠DFE=∠OAC，
∵△ACO∽△PDF，
∴$\frac{PF}{OA}$=$\frac{DF}{OC}$，
∴$\frac{DF}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴DF=2$\sqrt{5}$，
∴点P坐标（2$\sqrt{5}$，$\frac{2}{3}$）．
（3）如图3中，设平移后的△A′O′C′与△OAB的重叠部分是△A′MN，
∵AC=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S△AOC=$\frac{1}{2}$$•1•\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，
由△OAC∽△NA′M，
∴$\frac{{S}_{△A′MN}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{A′M}{AC}$）2，
∴$\frac{1}{4}$=（$\frac{\frac{3}{2}}{A′M}$）2，
∴A′M=$\frac{3}{4}$，
∴A′M=$\frac{1}{2}$AC，∵A′M∥AC，
∴A′M是△ACB的中位线，
∴点A′坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵抛物线y=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x，的顶点坐标（$\frac{7}{6}$，$\frac{49}{24}$），
∵点A（1，2）向下平移$\frac{1}{2}$单位，再向右平移$\frac{1}{2}$得到A′（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴平移后的抛物线顶点坐标（$\frac{5}{3}$，$\frac{37}{24}$），
∴平移后的抛物线C3的表达式y=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{5}{3}$）2+$\frac{37}{24}$，
即y=-$\frac{3}{2}$x2+5x-$\frac{21}{8}$．
点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质，平移等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定好像解析式，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．
某农户准备在利用自家住房墙做一个矩形的自行车车棚，一边利用围墙，墙长为12米，并且已有总长为25m的铁围栏，为了出入方便，在垂直于端的一边留有一个1米宽的门（门另用其他材料做好）．如果要使这个自行车车棚的面积为80米2，请你设计如何搭建较合适？
如图，△ABC中，D是BC的中点，AC∥BG，直线FG过点D交AC于F，交BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连结GE、EF．
已知：如图，正方形ABCD的边长为4，G为对角线BD上一点，DG=CD，H是AG上的一个动点，过H作HE⊥AD，HF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：HE+HF为一定值，并求出这一定值．
如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴和y轴上，且OA=4，反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象交AB于点D，交BC于点E．根据统计图，回答下列问题：
（1）参与调查的市民一共有200人；
（2）参与调查的市民中选择C的人数是50人；
（3）∠α=72°；
（4）请补全条形统计图．
| 种类 | A | B | C | D |
| 变化 | 有利于延缓社会老龄化现象 | 导致人口暴增 | 提升家庭抗风险能力 | 增大社会基本公共服务的压力 |
在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H
如图，I为△ABC的三条角平分线的交点，过I作AI的垂线交AB于点D，交AC于点E．求证：DI2=BD•CE．