已知:在平面直角坐标系xOy中.二次函数y=mx2+2mx-4的图象与x轴交于点A.B.与y轴交于点C.△ABC的面积为12．(1)求这个二次函数的解析式,.点P在二次函数的图象上.∠ADP为锐角.且tan∠ADP=2.请直接写出点P的横坐标,(3)点E在x轴的正半轴上.∠OCE＞45°.点O与点O′关于EC所在直线对称.过点O作O′E的垂线.垂足为点N.ON与EC交于点M� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx²+2mx-4（m≠0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为（-2，1），点P在二次函数的图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，请直接写出点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，∠OCE＞45°，点O与点O′关于EC所在直线对称，过点O作O′E的垂线，垂足为点N，ON与EC交于点M．若EM•EC=48，求点E的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；当x=0时，y=-4，可求点C的坐标为（0，-4），根据三角形面积公式可求AB=6．进一步得到A点和B点的坐标分别为（-4，0），（2，0）．待定系数法可求二次函数的解析式；
（2）作DF⊥x轴于点F．分两种情况：（ⅰ）当点P在直线AD的下方时；（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P₁A至点G使得AG=AP₁，连接DG，作GH⊥x轴于点H，两种情况讨论可求点P₁的坐标；
（3）连接OO′，交CE于T．连接CO′．根据三角函数的整数可得OE²=ET•EC=48+TM•EC．同理OC²=CT•EC=TM•EC=16．得到OE=8，从而得到点E的坐标．

解答：

解：（1）由题意可得：该二次函数图象的对称轴为直线x=-1；
∵当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），
∵S_△ABC=

AB•|y_C|=12，
∴AB=6．
又∵点A，B关于直线x=-1对称，
∴A点和B点的坐标分别为（-4，0），（2，0）．
∴4m+4m-4=0，解得m=

．
∴所求二次函数的解析式为y=

x²+x-4．

（2）如图，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
（ⅰ）当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A（-4，0），点D（-2，1），
∴DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，得tan∠ADF=

=2．
延长DF与抛物线交于点P₁，则P₁点为所求．
∴点P₁的坐标为（-2，-4）．
（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P₁A至点G使得AG=AP₁，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．
可证△GHA≌△P₁FA．
∴HA=AF，GH=P₁F，GA=P₁A．
又∵A（-4，0），P₁（-2，-4），
∴点G的坐标是（-6，4）．
在△ADP₁中，
DA=

，DP₁=5，
AP₁=2

，
∴DA²+AP₁²=DP₁²
∴∠DAP₁=90°．
∴DA⊥GP₁．
∴DG=DP₁．
∴∠ADG=∠ADP₁．
∴tan∠ADG=tan∠ADP₁=2．
设DG与抛物线的交点为P₂，则P₂点为所求．
作DK⊥GH于点K，作P₂S∥GK交DK于点S．
设P₂点的坐标为（x，

x²+x-4），
则P₂S=

x²+x-4-1=

x²+x-5，DS=-2-x．
由

P2S

，GK=3，DK=4，得

x2+x-5

-2-x

．
整理，得2x²+7x-14=0．
解得x=

-7±

161

．
∵P₂点在第二象限，
∴P₂点的横坐标为x=

-7-

161

（舍正）．
综上，P点的横坐标为-2或

-7-

161

．

（3）如图，连接OO′，交CE于T．连接CO′．
∵点O与点CO′关于EC所在直线对称，
∴OO′⊥CE，∠OCE=∠O′CE，∠CO′E=∠COE=90°，
O′C⊥O′E．
∵ON⊥O′E，
∴O′C∥ON．
∴∠OMC=∠O′CE=∠OCE．
∴OC=OM．
∴CT=MT．
∵在Rt△ETO中，∠ETO=90°，cos∠OEC=

，
在Rt△COE中，∠COE=90°，cos∠OEC=

，
∴