Question

已知：关于x的一元二次方程（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0．
（1）当方程有两个相等的实数根时，求k的值；
（2）若k是整数，且关于x的一元二次方程（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0有两个不相等的整数根时，把抛物线y=（k²-1）x²-（3k-1）x+2向右平移

1

2

个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．

Answer 1

考点：根的判别式,二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k²-1≠0且△=（3k-1）²-4×2×（k²-1）=0，然后解不等式和方程得到k的值为3；
（2）利用公式法解方程得到x₁=

2

k+1

，x₂=

1

k-1

，由于方程有两个不相等的整数根，且k≠±1，则整数k=0，于是抛物线解析式表示为y=-x²+x+2，配方得到y=-（x-

1

2

）²+

9

4

，即抛物线的顶点坐标为（

1

2

，

9

4

），然后根据点的坐标变换求解．

解答：解：（1）根据题意得k²-1≠0且△=（3k-1）²-4×2×（k²-1）=0，
解得k=3，
所以k=3时，原方程有两个相等的实数根；
（2）∵△=（3k-1）²-4×2×（k²-1）=（k-3）²，
∴x=

3k-1±(k-3)

2(k2-1)

，
∴x₁=

2

k+1

，x₂=

1

k-1

，
∵方程有两个不相等的整数根，且k≠±1，
∴整数k=0，
当k=0时，抛物线为y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，
∴抛物线的顶点坐标为（

1

2

，

9

4

），
∴把抛物线y=-x²+x+2向右平移

1

2

个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（1，

9

4

）．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了二次函数图象与几何变换．