Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE=AB．
（1）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB=10，BE=2EC，求EF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，故∠ADB=∠DBC．再由AE=AB得出∠ABE=∠AEB．根据∠AEB=2∠ADB，可知∠ABE=2∠DBC．由此可得出AD=AB，进而得出结论；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△EFB，故

AD

BE

=

AF

EF

．由AD=BC，BE=2EC可知

AD

BE

=

AF

EF

=

3

2

，由AE=AB=10即可得出EF的长．

解答：（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC．
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB．
∵∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠DBC．
∵∠ABE=∠ABD+∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴

AD

BE

=

AF

EF

．
∵AD=BC，BE=2EC，
∴

AD

BE

=

AF

EF

=

3

2

．
∵AE=AB=10，
∴

10-EF

EF

=

3

2

，
∴EF=4．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理及平行四边形的性质是解答此题的关键．