Question

已知：关于x的方程x²+3x+a=0①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有实数根且k为正整数，求代数式

k-1

k-2

的值．

Answer 1

分析：先根据关于x的方程x²+3x+a=0①的两个实数根的倒数和等于3，根据一元二次方程根与系数的关系可得两根的和与两根的积，再根据

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=3，得到关于a的方程，得a的值，再由关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有实数根，即判别式△≥0，k为正整数，求出k值，代入代数式

k-1

k-2

求值．

解答：解法一：设方程①的两个实数根为x₁，x₂
根据题意，得

x1+x2=-3 x1•x2=a 1 x1 + 1 x2 =3

∴

x1+x2

x1•x2

=3，即

-3

a

=3．③
解得a=-1
经检验，a=-1是方程③的解，且使方程x²+3x-1=0有实数根．
将a=-1代入方程②，得（k-1）x²+3x+2=0
当k=1时，一元一次方程3x+2=0有实数根．
∴

k-1

k-2

=

1-1

1-2

=0
当k≠1时，方程②为一元二次方程，
且△=9-8（k-1）≥0．
解得：k≤

17

8

∴k为正整数，且k≠1，
∴k=2
而k=2时，代数式

k-1

k-2

无意义
综上所述，代数式

k-1

k-2

的值为0．
解法二：设方程①的两个实数根为x₁，x₂
根据题意，得

△1=9-4a≥0 x1+x2=-3 x1•x2=a 1 x1 + 1 x2 =3

∴

x1+x2

x1•x2

=

-3

a

=3且a≤

9

4

．
解得a=-1，以下同解法一

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．