Question

16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=16cm，OC=8$\sqrt{2}$cm，两动点M、N分别从O、C同时出发，M在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在线段CO上沿CO方向以每秒$\sqrt{2}$cm的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤8）．
（1）求△OMN的面积的最大值；
（2）四边形OMBN的面积是一个定值吗？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
（3）当△OMN与△ABM和△MBN都相似时，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过B、M两点，过线段BM上一动点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交NB于点H，当线段PQ的长取得最大值时，求△PBH的面积．

Answer 1

分析 （1）用t表示OM、ON，根据S_△OMN=$\frac{1}{2}$ON•OM，构建二次函数，利用配方法求最大值．
（2）根据S_{四边形OMBN}=S_矩形OABC-S_△BCN-S_△ABM计算即可．
（3）根据待定系数法可得抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+（$\sqrt{2}-6$）x+32-8$\sqrt{2}$，设P（t，$\sqrt{2}$t-8$\sqrt{2}$），则Q（t，$\frac{1}{4}$t²+（$\sqrt{2}$-6）t+32-8$\sqrt{2}$），H（t，$\frac{\sqrt{2}}{4}$t+4$\sqrt{2}$），构建二次函数，即可解决问题．

解答 解：（1）∵OM=2t，CN=$\sqrt{2}$t，ON=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$（8-t），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$ON•OM=$\frac{1}{2}$×2t×$\sqrt{2}$（8-t）=-$\sqrt{2}$t²+8$\sqrt{2}$t=-$\sqrt{2}$（t-4）²+16$\sqrt{2}$（0≤t≤8），
∵a=-$\sqrt{2}$＜0，
∴当t=4时，S_△OMN取最大值16$\sqrt{2}$．

（2）是一个定值．理由如下：
∵S_{四边形OMBN}=S_矩形OABC-S_△BCN-S_△ABM=OA•OC-$\frac{1}{2}$BC•CN-$\frac{1}{2}$AB•AM=16×8$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$×16×$\sqrt{2}$t-$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×（16-2t）=64$\sqrt{2}$，
∴四边形OMBN的面积是一个定值，该定值为64$\sqrt{2}$．

（3）当△OMN与△ABM与△MBN相似时，△BMN必须是直角三角形，
∴∠BMN=90°
∴△OMN∽△ABM∽△MBN，
∴$\frac{MO}{AB}$=$\frac{ON}{MA}$，即$\frac{2t}{8\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{16-2t}$，解得t=4或8（舍弃），
∴OM=8．ON=4$\sqrt{2}$，
∴M（8，0），N（0，4$\sqrt{2}$）
设直线BM解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{16k+b=8\sqrt{2}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{2}}\\{b=-8\sqrt{2}}\end{array}\right.$
∴直线BM的解析式为y=$\sqrt{2}$x-8$\sqrt{2}$，
设直线BN的解析式为y=mx+n，则有$\left\{\begin{array}{l}{n=4\sqrt{2}}\\{16m+n=8\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{2}}{4}}\\{n=4\sqrt{2}}\end{array}\right.$
∴直线BN的解析式为y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+4$\sqrt{2}$，
∵抛物线的解析式y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过B（16，8$\sqrt{2}$），M（8，0），
则有$\left\{\begin{array}{l}{64+16b+c=8\sqrt{2}}\\{16+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}-6}\\{c=32-8\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+（$\sqrt{2}-6$）x+32-8$\sqrt{2}$，设P（t，$\sqrt{2}$t-8$\sqrt{2}$），
则Q（t，$\frac{1}{4}$t²+（$\sqrt{2}$-6）t+32-8$\sqrt{2}$），H（t，$\frac{\sqrt{2}}{4}$t+4$\sqrt{2}$）
∴PQ=$\sqrt{2}$t-8$\sqrt{2}$-（$\frac{1}{4}$t²+（$\sqrt{2}$-6）t+32-8$\sqrt{2}$=-$\frac{1}{4}$t²+6t-32=-$\frac{1}{4}$（t-12）²+4，
∴当t=12时，PQ最大值是4，此时P（12，4$\sqrt{2}$），H（12，7$\sqrt{2}$），
∴S_△PBH=$\frac{1}{2}$×$4×3\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数的综合题、一次函数、多边形面积问题．最值问题等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．