Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是△ABC的两个外角的平分线．
（1）求证：∠ACD=∠ADC；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠FAD=∠B，进而得到AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，即可证明∠ACD=∠ADC；
（2）首先证明△ABC和△ADC是等边三角形，进而得到AD=CB=AB=CD，可判定四边形ABCD是菱形．

解答 解：
（1）证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
在△ABC中，∠FAC=∠B+∠ACB=2∠B．        
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAC=2∠FAD=2∠CAD，
∴∠FAD=∠B．
∴AD∥BC．
∴∠D=∠DCE．      
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE．
∴∠ACD=∠ADC．
（2）∵∠B=60°，
∴∠ACB=∠CAD=60°．              
∵AB=AC，∠ACD=∠ADC，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．              
∴AB=BC=AC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的判定，熟记菱形的各种判断方法是解题的关键．