Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠AMB=75°，∠DCM=45°，CM=BM．
求证：
（1）△BMC为等边三角形；
（2）AB=AD．

Answer 1

证明：（1）∵∠AMB=75°，∠DCM=45°，
∴∠BMC=180°-75°-45°=60°，
∵CM=BM，
∴△BMC是等边三角形，（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，
∵△BMC是等边三角形，
∴BC=BM，∠CBM=60°，
∵∠AMB=75°，∴∠MBA=90°-75°=15°，
∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=15°+60°=75°，
∴，
∴△AMB≌△EBC（AAS），
∴AB=CE，
∵AB∥CD，AD⊥AB，CE⊥AB，
∴AD=CE，
∴AB=AD．
分析：（1）根据∠BMC=180°-75°-45°=60°，CM=BM，利用等边三角形的判定得出即可；
（2）首先利用AAS，证明△AMB≌△EBC，进而得出AD=CE，即可得出答案．
点评：此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、直角梯形性质等知识，根据已知作出高线得出△AMB≌△EBC是解题关键．