Question

7．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，PD交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E，∠EPD=∠EDO
（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PA=5，AD=12，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，DE⊥PO，得到∠A=∠E=90°，根据对顶角相等，得到∠DOE=∠POA，通过三角形全等，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，得出结论；
（2）由三角形全等得出线段相等，利用勾股定理列方程求出圆的半径．

解答 解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，
∴∠A=90°，
∵DE⊥PO，
∴∠E=90°，
∵∠DOE=∠POA，
∴∠EDO=∠APO，
∵∠EPD=∠EDO，
∴∠APO=∠DPO，
在△AFO与△PAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFO=∠A}\\{∠FPO=∠APO}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△PAO，
∴OA=OF，
∴PD与⊙O相切；

（2）由（1）证得△AFO≌△PAO，
∴PF=PA，
∵PA=5，AD=12，
∴DP=8，AD=$\sqrt{{PA}^{2}{+AD}^{2}}$=13，
设⊙O的半径为：0A=r，
∴r²+8²=（12-r）²，
∴r=$\frac{10}{3}$，
∴⊙O的半径为$\frac{10}{3}$．

点评 本题综合考查了圆周角定理，切线长定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，