Question

12．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=$\sqrt{3}$，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．若射线EF经过点C，则AE的长是2或5．

Answer 1

分析 过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于F，则BH=AD=$\sqrt{3}$，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE=x，则BE=6-x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的长，再判断出△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．

解答 解：过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于M，则BH=AD=MF=$\sqrt{3}$，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BM=$\frac{BH}{tan60°}$=1，
设AE=x，则BE=6-x，
在Rt△EFM中，EF=$\sqrt{（EB+BM）^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{（7-x）^{2}+3}$，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{EF}{BE}$，
∴EF²=DF•BE，即（7-x）²+3=7（6-x），
解得x=2或5．
故答案为：2或5．

点评 本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．