Question

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=10

3

，求圆心O到AE的距离．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：几何综合题

分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质求出∠CAD=∠D=∠BCD，求出∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，设∠CAD=x°，则∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，求出∠ACB=90°，推出x+2x=90，求出x，求出∠OCD=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出OC，得出OA长，求出∠OAE，根据含30度角的直角三角形性质求出OF即可．

解答：（1）证明：连接OC，
∵AC=DC，BC=BD，
∴∠CAD=∠D，∠D=∠BCD，
∴∠CAD=∠D=∠BCD，
∴∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，
设∠CAD=x°，则∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴x+2x=90，
x=30，
即∠CAD=∠D=30°，∠CBO=60°，
∵OC=OB，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AE于F，
∵在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，CD=10

3

，
∴OC=CD×tan30°=10，
OD=2OC=20，
∴OA=OC=10，
∵AE∥CD，
∴∠FAO=∠D=30°，
∴OF=AO×sin30°=10×

1

2

=5，
即圆心O到AE的距离是5．

点评：本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形外角性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好．