Question

如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用等边三角形的判定与性质得出∠DAB=∠ABC，进而得出答案；
（2）首先利用旋转的性质以及全等三角形的判定方法得出△DBG≌△ABF（SAS），进而得出△BGF为等边三角形，求出DF=DG+FG=AF+AF=2AF．

解答：（1）证明：由旋转的性质可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∴DA∥BC；

（2）猜想：DF=2AF，
证明如下：如图，在DF上截取DG=AF，连接BG，
由旋转的性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
在△DBG和△ABF中，

DB=AB ∠BDG=∠BAF DG=AF

，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠DBG=∠ABF，
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，
∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，
又∵BG=BF，
∴△BGF为等边三角形，
∴GF=BF，
又∵BF=AF，
∴FG=AF，
∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题关键．